당신이 나를 일으켜 주시기에 나는 거대한 산위에 당당히 서 있을수 있고. 수학공부로 행복하세요 2010/11/10 02:13

When I am down and, oh my soul, so weary
내가 너무 힘들어 지쳐있을때 ,그래서 나의 영혼이 너무 약해있을때
When troubles come and my heart burdened be
근심이 밀려와 나의 마음속이 무거운 짐으로 채워 질 때 라도

Then, I am still and wait here in the silence
나는 여기 침묵 속에서 변함없이(여전히) 기다립니다

Until you come and sit awhile with me

당신이 내게로 나의 옆에 앉으시어 나와 함께 할때까지

You raise me up, so I can stand on mountains

당신이 나를 일으켜 주시기에 , 나는 거대한 산위에 당당히 서 있을수 있고

You raise me up, to walk on stormy seas
당신이 나를 일으켜 주시기에 , 나는폭풍이 몰아치는 거센 바다 위를

건널 수 있습니다
I am strong, when I am on your shoulders
당신이 나란 존재에 버팀목이 되어 주실때, 비로서 나는 더욱 강인해 집니다

You raise me up, to more than I can be
당신은 나를 바로 일으켜, 나보다 더 강한 그 이상의 내가 되게 합니다

출처: 무료 수학과외

http://blog.naver.com/PostList.nhn?blogId=ama1088&categoryNo=72

[출처] 수학 을 잘하고 싶은가?|작성자 슈인쌤

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나를, 당신이, 무료수학과외, 일으켜 세워

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트랙백(Trackback),답글(Reply, 댓글), 덧글(commmeny,talkback) 이란! 시원한 사용법으로 행복하세요 2010/11/08 14:45

● 트랙백(Trackback)이란 !

댓글의 확장판으로 자신의 블로그에서 댓글을 작성하는 기능이다.

다른 사람의 글을 읽고 그 글에 직접 댓글을 올리는 대신에 자신의 블로그에 글을 올리고 글의 일정 부분이 다른 사람의 글밑에 댓글처럼 보이게 달리도록 트랙백 핑을 보내는 것이라고 정의되어 있네요.

보통 블로그의 포스트 하단에 보면 트랙백과 comment(댓글)가 달려있다.

트랙백이란 해당 포스트에 댓글을 자기 블로그에 남기는 기능을 말한다.

엮인 글: 해당 포스트와 관련이 있는 포스트들이 엮여서 댓글처럼 볼 수가 있다.

● 자신이 할 일:

1) 포스트 하단에 트랙백 주소를 복사하고

2) 관련 글을 자기 블로그에서 작성하고

3) 작성한 자기 글에 있는 트랙백 등록을 눌러서 주소를 붙이고 전송하면 트랙백 끝~

●댓글=덧글=답글=리플=커멘트=reply=comment=talkback

작성된 글에 답하는 글을‘댓글’이라고 합니다. 이 용어는 일반 게시글에서 답글을 할 때 쓰는 일명 리플과 거의 같다고 보시면 됩니다. ‘커맨트’또 ‘덧글’이라고도 합니다.

● 트랙백의 유래

다른 사람이 쓴 블로그 문서에 자신이 댓글을 달았다는 사실을 알려주는 기능과

(플러스 알파) 내가 쓴 댓글이외에 다른 장문의 포스트도 사람에게 알리기 위함.

●포스트=새 글

블로그를 만든 후 글을 쓰기 위해 사용하는 용어입니다. 글을 작성하여 올린다는 뜻입니다. 포스트는 게시글이나 일반적인 글이라고 생각하시면 쉽습니다. 경우에 따라‘엔트리’라는 용어로도 표현됩니다.

== 블로그의 간단한 용어도 옮겨 놔 봅니다. ^^

●스크랩=퍼가기=옮기기

다른 사람이 만든 블로그에 있는 글이나 선택한 소식 등이 마음에 들거나 활용 가치가 있는 게시물 등을 내블로그에 옮겨 놓을 수 있는데 이때 글을 옮기는 행위를‘스크랩’또는‘퍼가기’라고 합니다. 옮겨진 글을 어느 곳에서 옮겼는지 출처가 표시되며‘스크랩’등의 머리글(또는 말머리)이 제목에 붙여져 표시됩니다.

●아카이브

어느 정도 글이 쌓이면 예전에 쓴 글을 찾아보고 싶을 때가 있습니다. 이때 아카이브 기능을 씁니다. 아카이브란 기록 보관소라는 뜻입니다. 대부분의 블로그 서비스에서 달력 기능을 이용하여 지원합니다. 해당 달력의 날짜를 클릭하여 지난 포스트를 찾아 볼 수 있습니다.

●관심 블로그=이웃 블로그=즐겨찾기

여러 블로그를 돌아다니다 보면 다시 방문하고 싶은 블로그가 있습니다. 이때 이웃 추가나 친구 등록의 기능을 이용하면 내 블로그에 해당 블로그가 등록됩니다. 이 기능을 이용하여 누가 나를 이웃으로 했는지도 알 수 있습니다

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삼각치환적분법_ 위키백과에서 퍼온 글 수학공부로 행복하세요 2010/11/07 22:17

위키백과

http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%B9%98%ED%99%98%EC%A0%81%EB%B6%84

삼각 치환 적분은 적분법 중 하나로, 변수를 직접 적분하기 어려울 때 삼각함수의 성질을 이용하기 위해 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.

배경 원리

삼각함수를 기하학적으로 정의 했을 때, 각 함수의 함수값은 단위원의 어느 한 점의 좌표 좌표와 반지름 세 값의 비율과 같다. 함수가 단위원 위에 있으므로 피타고라스의 정리를 이용하면

$\ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\ \tan ^2 \theta + 1 = \sec ^2 \theta$

$\ \cot ^2 \theta + 1 = \csc ^2 \theta$

와 같은 성질이 성립한다. 이러한 성질을 이용하여 원래의 변수를 적절한 삼각함수로 치환하면 매우 간단해지는 경우가 있다.

주로

a^2-x^2 의 형태가 들어있는 함수의 경우 $x\,=\,a\sin\theta$ 나 $x\,=\,a\cos\theta$ 로 치환하며

a^2+x^2 꼴에는 $x\,=\,a\tan\theta$ 꼴 등으로 치환하는 식이다.

정적분으로 같은 방법으로 하면 되는데, 이 때는 적분구간에 주의해야 한다.

예

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

삼각치환적분_ 피타고라스의 창 블로그에서 퍼온 글 수학공부로 행복하세요 2010/11/07 21:16

피타고라스의 창 블로그 주소

http://bomber0.byus.net/index.php/2010/08/21/1811

배경 원리 [편집]

1/(1+x^2) 의 적분에 관한 이야기

트위터에서 이야기된 적분문제

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=?$

치환적분을 통한 해결과 의문들

$x=\tan t$ 로 치환하면,

$dx=(\tan t)'\,dt=\sec^2 t\,dt$

$1+x^2=1+\tan^2 t=\sec^2 t$ 이므로

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\int 1 \,dt=t+C=\arctan x+C$

를 얻게 된다.

이러이러하면 저러저러하게 된다는 것은 알겠는데, ‘이러한 치환적분을 어떻게 하면 자연스럽게 잘 이해할 수 있을까’가 사람들이 궁금해할 만한 점일 것 같다.

역사적으로 삼각치환이 어떻게 발전했는가를 알아보는것은 쉬울것 같지 않은데, 여기서는 대신에 이러한 류의 치환적분이 수학 속에 어떻게 자리잡고 있는지를 조금 이야기해볼까 한다.

함수와 도함수가 만족시키는 간단한 관계

함수 f(t) 에 대하여 x=f(t), y=f'(t) 로 두어보자.

삼각함수와 쌍곡함수들의 경우, 다음과 같은 재미있는 패턴들을 발견할 수 있게 된다.

$x=\cos t, y=-\sin t, x^2+y^2=1, y=-g(x)=-\sqrt{1-x^2}$

$x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1, y=g(x)=\sqrt{1-x^2}$

$x=\cosh t, y=\sinh t, x^2-y^2=1, y= g(x)=\sqrt{x^2-1}$

$x=\sinh t, y=\cosh t, x^2-y^2=-1, y=g(x)=\sqrt{1+x^2}$

$x=\tan t, y=\sec^2 t, x^2-y=-1, y=g(x)=x^2+1$

$x=\cot t, y=-\csc^2 t, x^2+y=-1, y=g(x)=-1-x^2$

$x=\tanh t, y=\operatorname{sech}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2$

$x=\coth t, y=-\operatorname{csch}^2 t, x^2+y=1, y=g(x)=1-x^2$

한가지 눈에 띄는 것은, 여기에 등장하는 대수곡선 $x^2+y^2=1,x^2-y^2=\pm 1, x^2+y=\pm1, x^2-y=-1$ 들이 이차곡선(원뿔곡선) 이라는 점이다.

적분에의 응용

위에서 보여준 함수들처럼 함수 f(t) 의 도함수 f'(t) 가 f(t) 의 간단한 함수로 표현되는 경우, 즉 적당한 함수 에 대하여 f'(t)=g(f(t)) 로 표현할 수 있는 경우,

$\int \frac{1}{g(x)}\,dx$

를 구하는 문제는 다음과 같이 해결될 수 있다.

$\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C$

요약하자면, 본래함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 함수들은, 어떤 특정한 함수의 부정적분을 구하는 문제에 응용할 수 있다는 것이다.

예)

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C$

타원적분에의 응용

이러한 원리를 이용하면, 타원함수와 타원적분의 관계에 대해서도 생각해 볼 수 있게 된다.

어떤 적당한 상수 g_2, g_3 에 대하여 바이어슈트라스의 타원함수 라는 (적어도 수학과 대학원생들에게는) 잘 알려진 복소함수가 있다.

$\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+\cdots$

이 함수의 도함수는 다음을 만족시킨다.

$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$

위에서 삼각함수와 같이 이 함수도 본래의 함수와 그 도함수가 만족시키는 간단한 관계를 찾을 수 있는 셈이다. 여기서는 $g(x)=\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}$ 가 된다.

삼각함수에서는 x^2+y^2=1 와 같은 이차곡선이 얻어졌다면, 여기서는 y^2=4x^3-g_2x-g_3 와 같은 3차곡선, 즉 타원곡선 (이차곡선의 하나인 타원과는 다른 것임) 이 얻어지게 된다.

따라서 다음과 같은 적분문제의 답은

$\int \frac{\,dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=\wp^{-1}(x)+C$

즉, 바이어슈트라스의 타원함수 $\wp(z)$ 의 역함수가 된다.

삼각함수와 타원함수 사이의 비슷한 점들

x,y 의 유리함수 R(x,y) 가 주어졌을때, $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$ 와 같은 적분 문제에서 삼각치환이 자연스럽게 보이는 이유는 사실 적분의 역함수로 등장하는 함수들,

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C$

즉, $\sin x,\tan x$ 과 같은 삼각함수들을 우리가 잘 이해하고 있기 때문이며, 이러한 함수들은 이차곡선(원뿔곡선)의 이론과 필연적으로 만나게 된다.

다음과 같은 형태의 적분

$\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx$ 또는

$\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx$

을 타원적분이라 하는데, 위에서 삼각함수의 역할과 마찬가지로 타원적분의 역함수로서 타원함수를 도입하게 되면, 적분을 이해하는 문제로부터 타원함수를 얼마나 깊이 이해하는가가 새로운 관건으로 등장하게 된다.

$\sin x,\tan x$ 라는 함수를 써서 치환적분하는 것이 허용된다면, 왜 바이어슈트라스의 타원함수 $\wp(z)$ 로 치환적분 하면 안되겠는가? 그리고 이 때 등장하는 곡선은 이차곡선이 아닌 y^2=4x^3-g_2x-g_3 과 같은 ㅌ원곡선이다.

적분과 대수기하 : 역사적인 관점

이러한 생각들은 타원함수론의 발전에 지대한 공헌을 했던 칼 야코비의 ‘언제나 뒤집어라’ (‘man muss immer umkehren’) 라는 말 속에 함축되어 있다.

아벨과 야코비는 1820년대부터 18세기부터 수학계의 뜨거운 화두였던 타원적분의 역함수로서의 타원함수와 그 이중주기와 같은 성질을 발견하고 이해를 심화시키는 경쟁에 들어간다.

그리고 훗날 리만은 이러한 타원함수들의 이중주기를 리만곡면인 토러스(즉, y^2=4x^3-g_2x-g_3 와 같은 타원곡선)에서 정의된 함수로 이해하는 새로운 관점을 제시한다

이렇게 하여 기묘했던 적분의 기술들이, 어떤 함수들과 그에 연관된 대수곡선의 이해로 수학의 방향전환이 시작되며, 현대의 추상적인 대수기하의 언어속에서 적분이란 그 구체적인 모습 사라진채 흔적만 남아있게 된다.

Zagier 와 Kontsevich가 2001년에 내놓은 ‘Periods’ 라는 제목의 글에는 이러한 말이 있다. “It can be said without much overstretching that a large part of algebraic geometry is (in a hidden form) the study of integrals of rational functions of several variables. ”

이렇게 역사적으로 적분의 문제들은 함수론과 대수곡선론이 자연스럽게 만나는 풍요로운 토양을 제공하였다. 다시 말하지만 결코 사소하지 않다 (피타고라스의 창, 2009-2-4)